$$\\lim _ { x \\rightarrow 0 } \\left( \\frac { 1 + \\int _ { 0 } ^ { x } \\mathrm { e } ^ { t ^ { 2 } }…

Explanation:

Step1: 通分

$$ \begin{align*} &\lim_{x\to0}\left(\frac{1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{e^{x}-1}-\frac{1}{\sin x}\right)\ =&\lim_{x\to0}\frac{(1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt)\sin x-(e^{x}-1)}{(e^{x}-1)\sin x} \end{align*} $$ 当(x\to0)时，(e^{x}-1\sim x)，(\sin x\sim x)，则原式可化为(\lim_{x\to0}\frac{(1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt)\sin x-(e^{x}-1)}{x^{2}})。

Step2: 等价无穷小替换与洛必达法则

当(x\to0)时，(\sin x\sim x)，则(\lim_{x\to0}\frac{(1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt)x-(e^{x}-1)}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{x + x\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt - e^{x}+1}{x^{2}})。 由洛必达法则，对分子分母同时求导： 分子求导：(1+\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt+xe^{x^{2}}-e^{x})，分母求导：(2x)，即(\lim_{x\to0}\frac{1+\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt+xe^{x^{2}}-e^{x}}{2x})。 再次使用洛必达法则，分子求导：(e^{x^{2}}+e^{x^{2}}+2x^{2}e^{x^{2}}-e^{x})，分母求导：(2)。

Step3: 代入(x = 0)求值

当(x = 0)时，(e^{0^{2}}+e^{0^{2}}+2\times0^{2}\times e^{0^{2}}-e^{0}=1 + 1+0 - 1=1)，(\frac{1}{2})。

Answer:

(\frac{1}{2})