$$ lim _ { x \rightarrow 0 } left( \frac { 1 + int _ { 0 } ^ { x } mathrm { e } ^ { t ^ { 2 } } mathrm { d }…

Explanation:

Step1: 等价无穷小替换

当(x\to0)时，(e^{x}-1\sim x)，(\sin x\sim x)，则原式(\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{e^{x}-1}-\frac{1}{\sin x}\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}-\frac{1}{x}\right))。

Step2: 化简式子

(\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1 + \int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}-\frac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x})。

Step3: 洛必达法则

根据洛必达法则(\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)})（(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0)或(\pm\infty)），对(\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x})，(f(x)=\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt)，(f^\prime(x)=e^{x^{2}})，(g(x)=x)，(g^\prime(x) = 1)，则(\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}}{1})。

Answer:

(1)