5) $lim_{x\rightarrow7}\frac{|7 - x|}{7 - x}$

Explanation:

Step1: Analyze the absolute - value function

When (x\to7), consider two cases for (|7 - x|). If (x\lt7), then (|7 - x|=7 - x). If (x\gt7), then (|7 - x|=-(7 - x)=x - 7).

Step2: Calculate the left - hand limit ((x\to7^{-}))

When (x\to7^{-}), (x\lt7), so (|7 - x| = 7 - x). Then (\lim_{x\to7^{-}}\frac{|7 - x|}{7 - x}=\lim_{x\to7^{-}}\frac{7 - x}{7 - x}=1).

Step3: Calculate the right - hand limit ((x\to7^{+}))

When (x\to7^{+}), (x\gt7), so (|7 - x|=x - 7). Then (\lim_{x\to7^{+}}\frac{|7 - x|}{7 - x}=\lim_{x\to7^{+}}\frac{x - 7}{7 - x}=- 1).

Step4: Determine the limit

Since (\lim_{x\to7^{-}}\frac{|7 - x|}{7 - x}\neq\lim_{x\to7^{+}}\frac{|7 - x|}{7 - x}), the limit (\lim_{x\to7}\frac{|7 - x|}{7 - x}) does not exist.

Answer:

The limit does not exist.