nilai lim_(y - 2)→0 1/(y - 2)(1/(2y² - y - 3)-2/(y² + y))=

Explanation:

Step1: 分母を因数分解する

$2y^{2}-y - 3=(2y - 3)(y + 1)$，$y^{2}+y=y(y + 1)$

Step2: 共通分母を求める

共通分母は$y(y + 1)(2y - 3)$で，$\frac{1}{2y^{2}-y - 3}-\frac{2}{y^{2}+y}=\frac{y-2(y - \frac{3}{2})}{y(y + 1)(2y - 3)}=\frac{y-2y + 3}{y(y + 1)(2y - 3)}=\frac{3 - y}{y(y + 1)(2y - 3)}$

Step3: 元の式に代入する

元の式は$\lim_{(y - 2)\to0}\frac{1}{y - 2}\cdot\frac{3 - y}{y(y + 1)(2y - 3)}$，$t=y - 2$とおくと$y=t + 2$，式は$\lim_{t\to0}\frac{1}{t}\cdot\frac{3-(t + 2)}{(t + 2)(t + 3)(2(t + 2)-3)}=\lim_{t\to0}\frac{1 - t}{t(t + 2)(t + 3)(2t + 1)}$

Step4: 極限を求める

$\lim_{t\to0}\frac{1 - t}{t(t + 2)(t + 3)(2t + 1)}=\lim_{t\to0}\frac{1 - t}{t(2t^{3}+11t^{2}+19t + 6)}=\lim_{t\to0}\frac{1 - t}{2t^{4}+11t^{3}+19t^{2}+6t}$ 分子分母に$t$で割ると$\lim_{t\to0}\frac{\frac{1}{t}-1}{2t^{3}+11t^{2}+19t + 6}$，$t\to0$のとき，$\frac{1}{t}\to\pm\infty$，しかし元の式をもう一度見ると $\lim_{(y - 2)\to0}\frac{1}{y - 2}\left(\frac{1}{2y^{2}-y - 3}-\frac{2}{y^{2}+y}\right)=\lim_{(y - 2)\to0}\frac{y^{2}+y-2(2y^{2}-y - 3)}{(y - 2)y(y + 1)(2y - 3)}=\lim_{(y - 2)\to0}\frac{y^{2}+y-4y^{2}+2y + 6}{(y - 2)y(y + 1)(2y - 3)}=\lim_{(y - 2)\to0}\frac{-3y^{2}+3y + 6}{(y - 2)y(y + 1)(2y - 3)}=\lim_{(y - 2)\to0}\frac{-3(y^{2}-y - 2)}{(y - 2)y(y + 1)(2y - 3)}=\lim_{(y - 2)\to0}\frac{-3(y - 2)(y+1)}{(y - 2)y(y + 1)(2y - 3)}=\lim_{(y - 2)\to0}\frac{-3}{y(2y - 3)}$

Step5: 代入して極限を求める

$y\to2$のとき，$\frac{-3}{y(2y - 3)}=\frac{-3}{2\times(2\times2 - 3)}=\frac{-3}{2\times1}=-\frac{3}{2}$

Answer:

$-\frac{3}{2}$