problem 1. differentiate the following functions. (a) $f(x)=(6x^{4}-3x^{2}+1)\\sqrt{x}$. (b)…

problem 1. differentiate the following functions. (a) $f(x)=(6x^{4}-3x^{2}+1)\\sqrt{x}$. (b) $f(x)=\\frac{x^{4}\\sin x}{x^{2}+x + 1}$. (c) $f(x)=\\tan^{3}x+\\sin(3x)\\tan(x^{3})$. (d) $f(x)=\\sin(\\cos(\\sin x))$. solution: (a) $f(x)=(24x^{3}-6x)\\sqrt{x}+(6x^{4}-3x^{2}+1)\\cdot\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$. (b) $f(x)=\\frac{(x^{2}+x + 1)(4x^{3}\\sin x+x^{4}\\cos x)-x^{4}(\\sin x)(2x + 1)}{(x^{2}+x + 1)^{2}}$. (c) $f(x)=3\\tan^{2}x\\sec^{2}x+3\\cos(3x)\\tan(x^{3})+3x^{2}\\sin(3x)\\sec^{2}(x^{3})$. (d) $f(x)=-\\cos(\\cos(\\sin x))\\sin(\\sin x)\\cos x$.

problem 1. differentiate the following functions. (a) $f(x)=(6x^{4}-3x^{2}+1)\\sqrt{x}$. (b) $f(x)=\\frac{x^{4}\\sin x}{x^{2}+x + 1}$. (c) $f(x)=\\tan^{3}x+\\sin(3x)\\tan(x^{3})$. (d) $f(x)=\\sin(\\cos(\\sin x))$. solution: (a) $f(x)=(24x^{3}-6x)\\sqrt{x}+(6x^{4}-3x^{2}+1)\\cdot\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$. (b) $f(x)=\\frac{(x^{2}+x + 1)(4x^{3}\\sin x+x^{4}\\cos x)-x^{4}(\\sin x)(2x + 1)}{(x^{2}+x + 1)^{2}}$. (c) $f(x)=3\\tan^{2}x\\sec^{2}x+3\\cos(3x)\\tan(x^{3})+3x^{2}\\sin(3x)\\sec^{2}(x^{3})$. (d) $f(x)=-\\cos(\\cos(\\sin x))\\sin(\\sin x)\\cos x$.

Answer

Explanation:

Step1: 运用乘积求导法则

对于(f(x)=(6x^{4}-3x^{2}+1)\sqrt{x})，设(u = 6x^{4}-3x^{2}+1)，(v=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}})，根据((uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime)，(u^\prime = 24x^{3}-6x)，(v^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})，则(f^\prime(x)=(24x^{3}-6x)\sqrt{x}+(6x^{4}-3x^{2}+1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}})。

Step2: 运用商的求导法则

对于(f(x)=\frac{x^{4}\sin x}{x^{2}+x + 1})，设(u = x^{4}\sin x)，(v=x^{2}+x + 1)，根据((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}})，(u^\prime = 4x^{3}\sin x+x^{4}\cos x)，(v^\prime = 2x + 1)，则(f^\prime(x)=\frac{(x^{2}+x + 1)(4x^{3}\sin x+x^{4}\cos x)-x^{4}\sin x(2x + 1)}{(x^{2}+x + 1)^{2}})。

Step3: 运用复合函数与乘积求导法则

对于(f(x)=\tan^{3}x+\sin(3x)\tan(x^{3}))，(f(x))由两部分组成，第一部分(y_1=\tan^{3}x)，令(u=\tan x)，(y_1 = u^{3})，根据复合函数求导法则(y_1^\prime = 3u^{2}\cdot\sec^{2}x=3\tan^{2}x\sec^{2}x)；第二部分(y_2=\sin(3x)\tan(x^{3}))，设(m=\sin(3x))，(n=\tan(x^{3}))，根据乘积求导法则(y_2^\prime=m^\prime n+mn^\prime)，(m^\prime = 3\cos(3x))，令(t = x^{3})，(n=\tan t)，(n^\prime=\sec^{2}t\cdot3x^{2}=3x^{2}\sec^{2}(x^{3}))，所以(y_2^\prime = 3\cos(3x)\tan(x^{3})+3x^{2}\sin(3x)\sec^{2}(x^{3}))，则(f^\prime(x)=3\tan^{2}x\sec^{2}x+3\cos(3x)\tan(x^{3})+3x^{2}\sin(3x)\sec^{2}(x^{3}))。

Step4: 多次运用复合函数求导法则

对于(f(x)=\sin(\cos(\sin x)))，令(u=\cos(\sin x))，(f(x)=\sin u)，(f^\prime(x)=\cos u\cdot u^\prime)，再令(v = \sin x)，(u=\cos v)，(u^\prime=-\sin v\cdot v^\prime)，(v^\prime=\cos x)，所以(f^\prime(x)=-\cos(\cos(\sin x))\sin(\sin x)\cos x)。

Answer:

(a) (f^\prime(x)=(24x^{3}-6x)\sqrt{x}+(6x^{4}-3x^{2}+1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}) (b) (f^\prime(x)=\frac{(x^{2}+x + 1)(4x^{3}\sin x+x^{4}\cos x)-x^{4}\sin x(2x + 1)}{(x^{2}+x + 1)^{2}}) (c) (f^\prime(x)=3\tan^{2}x\sec^{2}x+3\cos(3x)\tan(x^{3})+3x^{2}\sin(3x)\sec^{2}(x^{3})) (d) (f^\prime(x)=-\cos(\cos(\sin x))\sin(\sin x)\cos x)