for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher…

for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher the function is increasing and decreasing, x - coordinates of the inflection points, open intervals where th function is concave up and concave down, and relative minima and maxima. using this information, sketch the graph of the function.\n1) ( y = -\frac{x^{3}}{3}+x^{2} )

for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher the function is increasing and decreasing, x - coordinates of the inflection points, open intervals where th function is concave up and concave down, and relative minima and maxima. using this information, sketch the graph of the function.\n1) ( y = -\frac{x^{3}}{3}+x^{2} )

Answer

Explanation:

Step1: 求(x)，(y)截距

  • (y)截距：令(x = 0)，则(y=-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}=0)。
  • (x)截距：令(y = 0)，即(-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}=0)，提取公因式(x^{2})得(x^{2}(1-\frac{x}{3}) = 0)，解得(x = 0)或(x = 3)。

Step2: 求一阶导数(y')并找临界点

对(y=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2})求导，根据求导公式((X^n)^\prime=nX^{n - 1})，(y^\prime=-x^{2}+2x)。 令(y^\prime=0)，即(-x^{2}+2x = 0)，提取公因式(-x)得(-x(x - 2)=0)，解得(x = 0)或(x = 2)，这就是(x)坐标的临界点。

Step3: 求函数的单调区间

  • 当(x\lt0)时，取(x=-1)，(y^\prime=-(-1)^{2}+2\times(-1)=-3\lt0)，函数(y)在((-\infty,0))上单调递减。
  • 当(0\lt x\lt2)时，取(x = 1)，(y^\prime=-1^{2}+2\times1 = 1\gt0)，函数(y)在((0,2))上单调递增。
  • 当(x\gt2)时，取(x = 3)，(y^\prime=-3^{2}+2\times3=-3\lt0)，函数(y)在((2,+\infty))上单调递减。

Step4: 求二阶导数(y'')并找拐点

对(y^\prime=-x^{2}+2x)求导，(y''=-2x + 2)。 令(y''=0)，即(-2x + 2 = 0)，解得(x = 1)，这就是(x)坐标的拐点。

Step5: 求函数的凹凸区间

  • 当(x\lt1)时，取(x = 0)，(y''=-2\times0+2 = 2\gt0)，函数(y)在((-\infty,1))上凹（concave up）。
  • 当(x\gt1)时，取(x = 2)，(y''=-2\times2+2=-2\lt0)，函数(y)在((1,+\infty))上凸（concave down）。

Step6: 求相对极值

  • 当(x = 0)时，(y=-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}=0)，因为(y)在(x = 0)左侧递减，右侧递增，所以(x = 0)是相对极小值点，(y(0)=0)。
  • 当(x = 2)时，(y=-\frac{2^{3}}{3}+2^{2}=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3})，因为(y)在(x = 2)左侧递增，右侧递减，所以(x = 2)是相对极大值点，(y(2)=\frac{4}{3})。

Answer:

  • (x)截距：(x = 0)，(x = 3)；(y)截距：(y = 0)。
  • (x)坐标的临界点：(x = 0)，(x = 2)。
  • 单调递增区间：((0,2))；单调递减区间：((-\infty,0))，((2,+\infty))。
  • (x)坐标的拐点：(x = 1)。
  • 凹区间：((-\infty,1))；凸区间：((1,+\infty))。
  • 相对极小值：((0,0))；相对极大值：((2,\frac{4}{3}))。

根据以上信息可绘制函数(y =-\frac{x^{3}}{3}+x^{2})的图像。