for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher…

for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher the function is increasing and decreasing, x - coordinates of the inflection points, open intervals where tf function is concave up and concave down, and relative minima and maxima. using this information, sketch the graph of the function.\n1) ( y = -\frac{x^{3}}{3}+x^{2} )

for each problem, find the: x and y intercepts, x - coordinates of the critical points, open intervals wher the function is increasing and decreasing, x - coordinates of the inflection points, open intervals where tf function is concave up and concave down, and relative minima and maxima. using this information, sketch the graph of the function.\n1) ( y = -\frac{x^{3}}{3}+x^{2} )

Answer

Explanation:

Step1: 求(x)，(y)轴截距

  • (y)轴截距：令(x = 0)，代入(y=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2})，得(y = 0)。
  • (x)轴截距：令(y = 0)，即(-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}=0)，提取公因式(x^{2})得(x^{2}(1-\frac{x}{3}) = 0)，解得(x = 0)或(x = 3)。

Step2: 求一阶导数，确定单调区间和极值

  • 对(y=-\frac{x^{3}}{3}+x^{2})求导，(y^\prime=-x^{2}+2x)，令(y^\prime = 0)，即(-x^{2}+2x=0)，提取公因式(-x)得(-x(x - 2)=0)，解得(x = 0)或(x = 2)。
  • 当(x\lt0)时，(y^\prime=-x(x - 2)\lt0)，函数(y)单调递减；
  • 当(0\lt x\lt2)时，(y^\prime=-x(x - 2)\gt0)，函数(y)单调递增；
  • 当(x\gt2)时，(y^\prime=-x(x - 2)\lt0)，函数(y)单调递减。
  • 所以(x = 0)为极小值点，(y(0)=0)；(x = 2)为极大值点，(y(2)=-\frac{8}{3}+4=\frac{4}{3})。

Step3: 求二阶导数，确定凹凸区间和拐点

  • 对(y^\prime=-x^{2}+2x)求导，(y^{\prime\prime}=-2x + 2)，令(y^{\prime\prime}=0)，即(-2x + 2 = 0)，解得(x = 1)。
  • 当(x\lt1)时，(y^{\prime\prime}=-2x + 2\gt0)，函数(y)的图像是凹的；
  • 当(x\gt1)时，(y^{\prime\prime}=-2x + 2\lt0)，函数(y)的图像是凸的。
  • (x = 1)时，(y(1)=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3})，所以拐点坐标为((1,\frac{2}{3}))。

Answer:

  • (x)轴截距：(x = 0)，(x = 3)；(y)轴截距：(y = 0)。
  • 单调递增区间：((0,2))；单调递减区间：((-\infty,0)\cup(2,+\infty))。
  • 极小值：((0,0))；极大值：((2,\frac{4}{3}))。
  • 凹区间：((-\infty,1))；凸区间：((1,+\infty))；拐点：((1,\frac{2}{3}))。

根据以上信息可绘制函数(y =-\frac{x^{3}}{3}+x^{2})的图像。