5. quelle est la pente de la tangente à la courbe définie par léquation x² + 3xy - 2y² + 1 = 0 au point (1,2)?

Explanation:

Step1: Différencier implicitement

Différençons l'équation $x^{2}+3xy - 2y^{2}+1 = 0$ par rapport à $x$. On utilise les règles de la différentiation : $(u+v+w)^\prime=u^\prime + v^\prime+w^\prime$, $(x^{n})^\prime=nx^{n - 1}$, $(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$. La différentiation de $x^{2}$ est $2x$. Pour $3xy$, en utilisant la règle du produit $(uv)^\prime$ avec $u = 3x$ et $v = y$, on a $(3xy)^\prime=3y+3xy^\prime$. Pour $-2y^{2}$, en utilisant la chaîne - règle, on a $(-2y^{2})^\prime=-4yy^\prime$. La différentiation de la constante $1$ est $0$. Ainsi, $2x + 3y+3xy^\prime-4yy^\prime=0$.

Step2: Isoler $y^\prime$

On regroupe les termes contenant $y^\prime$ : $3xy^\prime-4yy^\prime=-2x - 3y$. $y^\prime(3x - 4y)=-2x - 3y$. Alors $y^\prime=\frac{-2x - 3y}{3x - 4y}$.

Step3: Évaluer $y^\prime$ au point $(1,2)$

On remplace $x = 1$ et $y = 2$ dans l'expression de $y^\prime$ : $y^\prime=\frac{-2\times1-3\times2}{3\times1 - 4\times2}=\frac{-2 - 6}{3 - 8}=\frac{-8}{-5}=\frac{8}{5}$.

Answer:

$\frac{8}{5}$