question evaluate d/dt (e^3 + 2^(t/2)) answer attempt 1 out of 2
question evaluate d/dt (e^3 + 2^(t/2)) answer attempt 1 out of 2
Answer
Explanation:
Step1: 求常数的导数
常数的导数为0，$e^3$是常数，所以$\frac{d}{dt}(e^3)=0$。
Step2: 求指数函数的导数
根据指数函数求导公式$(a^x)^\prime=a^x\ln a$，对于$2^{\frac{t}{2}}$，令$u = \frac{t}{2}$，则$2^{\frac{t}{2}}=2^u$。先对$2^u$关于$u$求导得$2^u\ln 2$，再对$u$关于$t$求导得$\frac{1}{2}$。根据复合函数求导法则，$\frac{d}{dt}(2^{\frac{t}{2}})=2^{\frac{t}{2}}\ln 2\times\frac{1}{2}=2^{\frac{t}{2}-1}\ln 2$。
Step3: 求原式导数
根据加法求导法则$(u + v)^\prime=u^\prime + v^\prime$，$\frac{d}{dt}(e^3 + 2^{\frac{t}{2}})=\frac{d}{dt}(e^3)+\frac{d}{dt}(2^{\frac{t}{2}})=0 + 2^{\frac{t}{2}-1}\ln 2=2^{\frac{t}{2}-1}\ln 2$。
Answer:
$2^{\frac{t}{2}-1}\ln 2$