1. dérivez la fonction. f(x) = (x² + 1)⁵ / (3 - x)⁴

Explanation:

Step1: Appliquer la règle du quotient

$$(u/v)'=(u'v - uv')/v^{2}$$ Soit (u=(x^{2}+1)^{5}) et (v=(3 - x)^{4})

Step2: Calculer (u') et (v')

• Pour (u=(x^{2}+1)^{5}), appliquer la règle de la chaîne: (u' = 5(x^{2}+1)^{4}\times2x=10x(x^{2}+1)^{4})
• Pour (v=(3 - x)^{4}), appliquer la règle de la chaîne: (v'=4(3 - x)^{3}\times(- 1)=-4(3 - x)^{3})

Step3: Substituer (u), (u'), (v) et (v') dans la formule du quotient

$$f'(x)=\frac{u'v - uv'}{v^{2}}=\frac{10x(x^{2}+1)^{4}(3 - x)^{4}-(x^{2}+1)^{5}\times(-4)(3 - x)^{3}}{(3 - x)^{8}}$$

Step4: Simplifier l'expression

Tirer ((x^{2}+1)^{4}(3 - x)^{3}) en facteur commun: $$f'(x)=\frac{(x^{2}+1)^{4}(3 - x)^{3}[10x(3 - x)+4(x^{2}+1)]}{(3 - x)^{8}}$$ Simplifier le numérateur et le dénominateur: $$10x(3 - x)+4(x^{2}+1)=30x-10x^{2}+4x^{2}+4=-6x^{2}+30x + 4$$ $$f'(x)=\frac{(x^{2}+1)^{4}(-6x^{2}+30x + 4)}{(3 - x)^{5}}$$

Answer:

$$f'(x)=\frac{(x^{2}+1)^{4}(-6x^{2}+30x + 4)}{(3 - x)^{5}}$$