найти производную функции и вычислить значение при x=0 y = e^sin x

Explanation:

Step1: Appliquer la règle de la chaîne

Soit $u = \sin x$, alors $y = e^{u}$. La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. La dérivée de $y = e^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{dy}{du}=e^{u}$, et la dérivée de $u=\sin x$ par rapport à $x$ est $\frac{du}{dx}=\cos x$. Donc $\frac{dy}{dx}=e^{u}\cdot\cos x$. En remplaçant $u = \sin x$, on obtient $y'=e^{\sin x}\cos x$.

Step2: Calculer la valeur pour $x = 0$

On remplace $x = 0$ dans $y'=e^{\sin x}\cos x$. On sait que $\sin(0)=0$ et $\cos(0)=1$. Alors $y'(0)=e^{\sin(0)}\cos(0)=e^{0}\times1 = 1\times1=1$.

Answer:

La dérivée de la fonction $y = e^{\sin x}$ est $y'=e^{\sin x}\cos x$ et sa valeur pour $x = 0$ est $1$.