solve the differential equation by variation of parameters. y + 3y + 2y = 1 / (3 + e^x)

Explanation:

Step1: Encontrar la solución homogénea

La ecuación homogénea es $y'' + 3y' + 2y=0$. Su ecuación característica es $r^{2}+3r + 2 = 0$. Factorizando, $(r + 1)(r+2)=0$. Entonces $r_1=-1$ y $r_2=-2$. La solución homogénea $y_h = C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$.

Step2: Aplicar variación de parámetros

Suponemos que $y_p = u_1(x)e^{-x}+u_2(x)e^{-2x}$. Calculamos $y_p'=(u_1'-u_1)e^{-x}+(u_2'-2u_2)e^{-2x}$. Hacemos $u_1'e^{-x}+u_2'e^{-2x}=0$. Entonces $y_p'=-u_1e^{-x}-2u_2e^{-2x}$. Calculando $y_p''$: $y_p''=(u_1'-u_1)e^{-x}+(4u_2 - 4u_2')e^{-2x}$. Sustituyendo $y_p$, $y_p'$ y $y_p''$ en la ecuación no - homogénea $y'' + 3y' + 2y=\frac{1}{3 + e^{x}}$, y usando $u_1'e^{-x}+u_2'e^{-2x}=0$, obtenemos un sistema de ecuaciones para $u_1'$ y $u_2'$. El sistema es: $\begin{cases}u_1'e^{-x}+u_2'e^{-2x}=0\-u_1'e^{-x}-2u_2'e^{-2x}=\frac{1}{3 + e^{x}}\end{cases}$ Sumando las dos ecuaciones, $-u_2'e^{-2x}=\frac{1}{3 + e^{x}}$, entonces $u_2'=-\frac{e^{2x}}{3 + e^{x}}$. Haciendo el cambio de variable $t = e^{x}$, $u_2'=-\frac{t^{2}}{3 + t}$. Dividiendo $t^{2}$ entre $3 + t$: $t^{2}=(t - 3)(t + 3)+9$, entonces $u_2'=-(t - 3+\frac{9}{t + 3})$. Integrando, $u_2=- \frac{e^{2x}}{2}+3e^{x}-9\ln(3 + e^{x})$. De $u_1'e^{-x}+u_2'e^{-2x}=0$, $u_1'=-u_2'e^{-x}=\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$. Integrando, $u_1=\ln(3 + e^{x})$.

Step3: Encontrar la solución particular

$y_p = u_1(x)e^{-x}+u_2(x)e^{-2x}=\ln(3 + e^{x})e^{-x}-(\frac{e^{2x}}{2}-3e^{x}+9\ln(3 + e^{x}))e^{-2x}$.

Step4: Encontrar la solución general

La solución general es $y = y_h+y_p=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+\ln(3 + e^{x})e^{-x}-(\frac{e^{2x}}{2}-3e^{x}+9\ln(3 + e^{x}))e^{-2x}$.

Answer:

$y = C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+\ln(3 + e^{x})e^{-x}-(\frac{e^{2x}}{2}-3e^{x}+9\ln(3 + e^{x}))e^{-2x}$