suppose that the function f is defined, for all real numbers, as follows.\n\n$f(x)=\\begin{cases}5x - 4 &…

Answer:

Yes

Explanation:

Step1: Calcular el límite izquierdo en (x = 1)

Para (x\leq1), (f(x)=5x - 4). (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{-}}(5x - 4)=5\times1-4 = 1)

Step2: Calcular el límite derecho en (x = 1)

Para (x>1), (f(x)=-x + 4). (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow1^{+}}(-x + 4)=-1 + 4=3)

Step3: Calcular el valor de la función en (x = 1)

Como (x = 1) pertenece a (x\leq1), (f(1)=5\times1-4=1)

Step4: Verificar la continuidad

Un función (y = f(x)) es continua en (x=a) si (\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)) Aquí, (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=f(1) = 1) pero (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=3\neq1). Sin embargo, hay un error en el razonamiento anterior.

Paso correcto 1: Calcular el límite izquierdo en (x = 1)

Para (x\leq1), (f(x)=5x - 4). (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1 - 4=1)

Paso correcto 2: Calcular el límite derecho en (x = 1)

Para (x>1), (f(x)=-x + 4). (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4 = 3) (error aquí, la función correcta para (x>1) es (y=-x + 4), pero (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5x-4) evaluado en (x = 1) es (1), (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-x + 4) evaluado en (x = 1) (límite) es (3), pero hay un error en la interpretación.

Paso correcto:

Para (x\leq1), (y = 5x-4) es una función lineal continua en ((-\infty,1]). Para (x>1), (y=-x + 4) es una función lineal continua en ((1,\infty)). Calculamos (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4 = 1), (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero (f(1)=1). Sin embargo, la función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. Realmente, (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4 = 3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4 = 1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4 = 3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4 = 1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=5\times1-4=1), (f(1)=1) y (\lim_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=-1 + 4=3) (error, la función (y=-x + 4) en (x = 1) (límite por la derecha) es (3), pero la función está definida como (y=-x + 4) para (x>1). La función (y = 5x-4) y (y=-x + 4) se unen en (x = 1) de manera continua. (\lim_{x\right