déterminez les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction $f$ est continue.\n$f(x)=\\begin{cases}\\frac{x…

Explanation:

Step1: Simplifier la partie gauche

On simplifie $\frac{x - 4}{x^{2}-16}$. Puisque $x^{2}-16=(x + 4)(x - 4)$, pour $x\neq4$ et $x<0$, on a $\frac{x - 4}{x^{2}-16}=\frac{1}{x + 4}$.

Step2: Vérifier la continuité en $x = 0$

Calculons la limite à gauche et à droite de $f(x)$ en $x = 0$. Limite à gauche: $\lim_{x\rightarrow0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{1}{x + 4}=\frac{1}{0 + 4}=\frac{1}{4}$. Limite à droite: $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{3x + 1}{4}=\frac{3\times0+1}{4}=\frac{1}{4}$. Et $f(0)=\frac{3\times0 + 1}{4}=\frac{1}{4}$.

Step3: Vérifier la continuité pour $x<0$

La fonction $y=\frac{1}{x + 4}$ est continue pour $x<0$ et $x\neq - 4$.

Step4: Vérifier la continuité pour $x>0$

La fonction $y=\frac{3x + 1}{4}$ est un polynôme rationnel (un polynôme de degré 1) et est continue pour $x>0$.

Answer:

La fonction $f(x)$ est continue pour tous les $x\in\mathbb{R}\setminus{-4}$.