9. déterminez si la fonction est continue sur lintervalle indiqué. si elle ne lest pas, dites pourquoi.\na)…

Explanation:

Step1: Définition de la continuité

Une fonction $y = f(x)$ est continue en un point $x = a$ si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ et est continue sur un intervalle si elle est continue en chaque point de cet intervalle.

Step2: Analyse de $f(x)=\frac{1}{x - 2}$

Pour $f(x)=\frac{1}{x - 2}$, la fonction n'est pas définie pour $x = 2$.

Sur l'intervalle $[3,4]$

La fonction $f(x)=\frac{1}{x - 2}$ est définie pour tout $x\in[3,4]$. $\lim_{x\rightarrow c}\frac{1}{x - 2}=\frac{1}{c - 2}=f(c)$ pour tout $c\in[3,4]$. Donc, $f(x)$ est continue sur $[3,4]$.

Sur l'intervalle $[0,4]$

La fonction n'est pas définie en $x = 2\in[0,4]$. Donc, $f(x)$ n'est pas continue sur $[0,4]$.

Sur l'intervalle $[2,4]$

La fonction n'est pas définie en $x = 2$. Donc, $f(x)$ n'est pas continue sur $[2,4]$.

Sur l'intervalle $]2,4[$

La fonction $f(x)=\frac{1}{x - 2}$ est définie pour tout $x\in]2,4[$. $\lim_{x\rightarrow c}\frac{1}{x - 2}=\frac{1}{c - 2}=f(c)$ pour tout $c\in]2,4[$. Donc, $f(x)$ est continue sur $]2,4[$.

Step3: Analyse de $f(x)=\sqrt{x^{2}-9}$

La fonction $y = \sqrt{u}$ est définie pour $u\geq0$. Donc, pour $f(x)=\sqrt{x^{2}-9}$, on doit avoir $x^{2}-9\geq0$, c'est - à - dire $(x - 3)(x + 3)\geq0$. Les solutions de cette inégalité sont $x\leq - 3$ ou $x\geq3$.

Sur l'intervalle $]-\infty,-3]$

Pour tout $x\in]-\infty,-3]$, $x^{2}-9\geq0$. $\lim_{x\rightarrow c}\sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{c^{2}-9}=f(c)$ pour tout $c\in]-\infty,-3]$. Donc, $f(x)$ est continue sur $]-\infty,-3]$.

Sur l'intervalle $[-5,-3]$

Pour tout $x\in[-5,-3]$, $x^{2}-9\geq0$. $\lim_{x\rightarrow c}\sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{c^{2}-9}=f(c)$ pour tout $c\in[-5,-3]$. Donc, $f(x)$ est continue sur $[-5,-3]$.

Sur l'intervalle $[3,10]$

Pour tout $x\in[3,10]$, $x^{2}-9\geq0$. $\lim_{x\rightarrow c}\sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{c^{2}-9}=f(c)$ pour tout $c\in[3,10]$. Donc, $f(x)$ est continue sur $[3,10]$.

Sur l'intervalle $]-4,4[$

Pour $x\in]-4,3[$, $x^{2}-9<0$, la fonction $f(x)=\sqrt{x^{2}-9}$ n'est pas définie. Donc, $f(x)$ n'est pas continue sur $]-4,4[$.

Answer:

a)

• Sur $[3,4]$ : continue
• Sur $[0,4]$ : non - continue car non définie en $x = 2$
• Sur $[2,4]$ : non - continue car non définie en $x = 2$
• Sur $]2,4[$ : continue b)
• Sur $]-\infty,-3]$ : continue
• Sur $[-5,-3]$ : continue
• Sur $[3,10]$ : continue
• Sur $]-4,4[$ : non - continue car non définie sur une partie de l'intervalle.