trigonométrie : recherche déquation\n15. soit une fonction sinusoidale ayant deux extrémums consécutifs à…

Explanation:

Step1: Trouver l'amplitude $A$

L'amplitude $A$ est donnée par la moitié de la différence entre les valeurs extrêmes. On a $y_{max}=12$ et $y_{min}=-4$. Alors $A=\frac{y_{max}-y_{min}}{2}=\frac{12 - (-4)}{2}=\frac{16}{2}=8$.

Step2: Trouver la vertical - translation $D$

La vertical - translation $D$ est la moyenne des valeurs extrêmes. Donc $D=\frac{y_{max}+y_{min}}{2}=\frac{12+( - 4)}{2}=\frac{8}{2}=4$.

Step3: Trouver la période $P$

Les deux extrêmes consécutifs ont pour abscisses $x_1=-5$ et $x_2 = 2$. La distance entre deux extrêmes consécutifs est la moitié de la période. Donc $\frac{P}{2}=2-( - 5)=7$, et $P = 14$.

Step4: Trouver la pulsation $\omega$

On sait que $\omega=\frac{2\pi}{P}$. Avec $P = 14$, on a $\omega=\frac{2\pi}{14}=\frac{\pi}{7}$.

Step5: Trouver la phase $\varphi$

On utilise la forme générale de la fonction sinusoidale $y = A\sin(\omega x+\varphi)+D$. On peut prendre le point $(-5;12)$. Alors $12=8\sin(\frac{\pi}{7}\times(-5)+\varphi)+4$. On commence par simplifier : [ \begin{align*} 12 - 4&=8\sin(-\frac{5\pi}{7}+\varphi)\ 8&=8\sin(-\frac{5\pi}{7}+\varphi)\ \sin(-\frac{5\pi}{7}+\varphi)&=1 \end{align*} ] On sait que $\sin\theta = 1$ lorsque $\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$. Donc $-\frac{5\pi}{7}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi$. [ \begin{align*} \varphi&=\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi}{7}+2k\pi\ &=\frac{7\pi + 10\pi}{14}+2k\pi\ &=\frac{17\pi}{14}+2k\pi \end{align*} ] On peut prendre $k = 0$ et $\varphi=\frac{17\pi}{14}$. La fonction sinusoidale est $y = 8\sin(\frac{\pi}{7}x+\frac{17\pi}{14})+4$.

Answer:

$y = 8\sin(\frac{\pi}{7}x+\frac{17\pi}{14})+4$