2. trouver $\frac{dy}{dx}$ implicitement.\na) $x^{3}+y^{3}=6x^{2}$

Explanation:

Step1: Différencier chaque terme

Différençons $x^{3}+y^{3}=6x^{2}$ par rapport à $x$. La dérivée de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $3x^{2}$ (en utilisant la règle de la puissance $\frac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n - 1}$). Pour $y^{3}$, en utilisant la règle de la chaîne, on a $\frac{d}{dx}(y^{3}) = 3y^{2}\frac{dy}{dx}$. La dérivée de $6x^{2}$ par rapport à $x$ est $12x$. On obtient donc $3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}=12x$.

Step2: Isoler $\frac{dy}{dx}$

D'abord, soustrayons $3x^{2}$ des deux côtés de l'équation : $3y^{2}\frac{dy}{dx}=12x - 3x^{2}$. Ensuite, divisons les deux côtés par $3y^{2}$ ($y\neq0$) : $\frac{dy}{dx}=\frac{12x - 3x^{2}}{3y^{2}}=\frac{4x - x^{2}}{y^{2}}$.

Answer:

$\frac{dy}{dx}=\frac{4x - x^{2}}{y^{2}}$