6. trouver les équations des deux droites tangentes à la courbe définie par léquation x² - xy + y² = 4…

Explanation:

Step1: Trouver les valeurs de y pour x = 2

En remplaçant x = 2 dans l'équation $x^{2}-xy + y^{2}=4$, on obtient: $2^{2}-2y + y^{2}=4$ $y^{2}-2y=0$ $y(y - 2)=0$ Donc $y = 0$ ou $y = 2$.

Step2: Différencier implicitement l'équation

Différencier $x^{2}-xy + y^{2}=4$ par rapport à x. On a: $2x-(y+xy') + 2yy'=0$. Résoudre pour $y'$: $2x - y-xy'+2yy'=0$ $y'(2y - x)=y - 2x$ $y'=\frac{y - 2x}{2y - x}$.

Step3: Trouver la pente des tangentes

• Pour le point $(2,0)$: $y'=\frac{0 - 2\times2}{2\times0 - 2}=\frac{-4}{-2}=2$. L'équation de la droite tangent à la pente - point est $y - y_1=m(x - x_1)$. Avec $(x_1,y_1)=(2,0)$ et $m = 2$, on a $y-0=2(x - 2)$, soit $y = 2x-4$.
• Pour le point $(2,2)$: $y'=\frac{2 - 2\times2}{2\times2 - 2}=\frac{2 - 4}{4 - 2}=\frac{-2}{2}=-1$. L'équation de la droite tangent à la pente - point est $y - 2=-1(x - 2)$, soit $y=-x + 4$.

Answer:

Les équations des droites tangentes sont $y = 2x-4$ et $y=-x + 4$.