trouvez $\frac{dy}{dx}$ au point $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ si $x^{3}+y^{3}-3xy = 0.$

Explanation:

Step1: Différencier implicitement

Différençons chaque terme de l'équation $x^{3}+y^{3}-3xy = 0$ par rapport à $x$. $\frac{d}{dx}(x^{3})+\frac{d}{dx}(y^{3})-3\frac{d}{dx}(xy)=0$. En utilisant les règles de dérivation, $\frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}$, et pour $\frac{d}{dx}(y^{3})$ on utilise la règle de la chaîne: $\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$. Pour $\frac{d}{dx}(xy)$ on utilise la règle du produit: $\frac{d}{dx}(xy)=y + x\frac{dy}{dx}$. Donc $3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}-3(y + x\frac{dy}{dx})=0$.

Step2: Simplifier l'équation

Divisons par 3: $x^{2}+y^{2}\frac{dy}{dx}-y - x\frac{dy}{dx}=0$. Regroupons les termes avec $\frac{dy}{dx}$: $y^{2}\frac{dy}{dx}-x\frac{dy}{dx}=y - x^{2}$. Factorisons $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx}(y^{2}-x)=y - x^{2}$.

Step3: Trouver $\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y - x^{2}}{y^{2}-x}$.

Step4: Évaluer $\frac{dy}{dx}$ au point $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

Remplaceons $x=\frac{3}{2}$ et $y = \frac{3}{2}$ dans l'expression de $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx}\big|_{(\frac{3}{2},\frac{3}{2})}=\frac{\frac{3}{2}-(\frac{3}{2})^{2}}{(\frac{3}{2})^{2}-\frac{3}{2}}$. $\frac{\frac{3}{2}-\frac{9}{4}}{\frac{9}{4}-\frac{3}{2}}=\frac{\frac{6 - 9}{4}}{\frac{9 - 6}{4}}=\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}}=- 1$.

Answer:

$-1$