9. un homme se tient debout à lextrémité dun embarcadère à 6 m au-dessus du niveau de leau. il ramène un…
9. un homme se tient debout à lextrémité dun embarcadère à 6 m au-dessus du niveau de leau. il ramène un câble attaché à une barque. la longueur du câble décroît au rythme de 1 m/s. à quelle vitesse, la barque se déplace-t-elle sur leau lorsque elle se trouve à 8 m de lembarca-dère?
Answer
Explanation:
Step1: Définir les variables
Soit ( x ) la distance horizontale entre la barque et l'embarcadère, ( y ) la longueur du câble. On a ( x^{2}+6^{2}=y^{2} ) (théorème de Pythagore).
Step2: Différencier par rapport au temps ( t )
Différenciation de ( x^{2}+36 = y^{2} ) : ( 2x\frac{dx}{dt}=2y\frac{dy}{dt} ). Donc ( x\frac{dx}{dt}=y\frac{dy}{dt} ).
Step3: Calculer ( y )
Quand ( x = 8 ) m, ( y=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10 ) m.
Step4: Substituer les valeurs
On sait que ( \frac{dy}{dt}=- 1 ) m/s (car la longueur du câble diminue). Substituer ( x = 8 ), ( y = 10 ) et ( \frac{dy}{dt}=-1 ) dans ( x\frac{dx}{dt}=y\frac{dy}{dt} ). On a ( 8\frac{dx}{dt}=10\times(-1) ). Donc ( \frac{dx}{dt}=-\frac{10}{8}=-\frac{5}{4}=-1,25 ) m/s. La valeur absolue de ( \frac{dx}{dt} ) donne la vitesse de la barque.
Answer:
La barque se déplace à une vitesse de ( 1,25 ) m/s.