(a) use the definition to find an expression for the area under the curve y = x³ from 0 to 1 as a limit. lim…

Explanation:

Step1: Dividir el intervalo

El intervalo es $[0,1]$. Dividimos el intervalo $[a,b]=[0,1]$ en $n$ sub - intervalos de ancho $\Delta x=\frac{b - a}{n}=\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}$. Los puntos de partición son $x_i=a + i\Delta x=0+\frac{i}{n}=\frac{i}{n}$ para $i = 0,1,\cdots,n$.

Step2: Elegir un punto en cada sub - intervalo

Tomamos $x_i^*=x_i=\frac{i}{n}$ (pueden tomarse otros puntos, pero para fines de la definición estándar, tomamos el extremo derecho).

Step3: Calcular la altura del rectángulo en cada sub - intervalo

Dado la función $y = f(x)=x^{3}$, la altura del $i$-ésimo rectángulo es $f(x_i^*)=\left(\frac{i}{n}\right)^{3}$.

Step4: Calcular el área del $i$-ésimo rectángulo

El área del $i$-ésimo rectángulo es $A_i=f(x_i^*)\Delta x=\left(\frac{i}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{n}$.

Step5: Calcular la suma de las áreas de los rectángulos

La suma de las áreas de los $n$ rectángulos es $S_n=\sum_{i = 1}^{n}A_i=\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{3}\cdot\frac{1}{n}=\sum_{i = 1}^{n}\frac{i^{3}}{n^{4}}$.

Step6: Hallar el límite

El área $A$ bajo la curva $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ es $A=\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{i^{3}}{n^{4}}$.

Answer:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}\frac{i^{3}}{n^{4}}$