use this definition with right endpoints to find an expression for the area under the graph of f as a limit…

Explanation:

Step1: Encontrar el ancho del sub - intervalo

El intervalo es $[a,b]=[4,6]$. El ancho del sub - intervalo $\Delta x=\frac{b - a}{n}=\frac{6 - 4}{n}=\frac{2}{n}$.

Step2: Encontrar la $i$-ésima coordenada del extremo derecho

La $i$-ésima coordenada del extremo derecho $x_i=a + i\Delta x=4+\frac{2i}{n}$.

Step3: Encontrar $f(x_i)$

Sustituimos $x_i$ en $f(x)$. Tenemos $f(x)=x^{2}+\sqrt{1 + 2x}$, entonces $f(x_i)=(4+\frac{2i}{n})^{2}+\sqrt{1+2(4+\frac{2i}{n})}=(4+\frac{2i}{n})^{2}+\sqrt{9+\frac{4i}{n}}$.

Step4: Encontrar la suma Riemann

La suma Riemann con extremos derechos es $\sum_{i = 1}^{n}f(x_i)\Delta x$. Sustituyendo $f(x_i)$ y $\Delta x$ obtenemos $\sum_{i = 1}^{n}\left[\left(4+\frac{2i}{n}\right)^{2}+\sqrt{9+\frac{4i}{n}}\right]\frac{2}{n}$.

Step5: Encontrar el límite

El área $A$ bajo la curva $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ es $A=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}f(x_i)\Delta x$. Entonces $A=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}\left[\left(4+\frac{2i}{n}\right)^{2}+\sqrt{9+\frac{4i}{n}}\right]\frac{2}{n}$.

Answer:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}\left[\left(4+\frac{2i}{n}\right)^{2}+\sqrt{9+\frac{4i}{n}}\right]\frac{2}{n}$