use this definition with right - endpoints to find an expression for the area under the graph of f as a…
use this definition with right - endpoints to find an expression for the area under the graph of f as a limit. do not evaluate the limit. f(x)=x² + √(1 + 2x), 4 ≤ x ≤ 6 lim(n→∞)∑(i = 1 to n)( )
Answer
Explanation:
Step1: Encontrar el ancho del sub - intervalo
El intervalo es $[a,b]=[4,6]$. El ancho del sub - intervalo $\Delta x=\frac{b - a}{n}=\frac{6 - 4}{n}=\frac{2}{n}$.
Step2: Encontrar la $i$-ésima coordenada de los puntos finales derechos
El $i$-ésimo punto final derecho $x_i=a + i\Delta x=4+\frac{2i}{n}$.
Step3: Encontrar $f(x_i)$
Dado $f(x)=x^{2}+\sqrt{1 + 2x}$, entonces $f(x_i)=(4+\frac{2i}{n})^{2}+\sqrt{1+2(4+\frac{2i}{n})}=(4+\frac{2i}{n})^{2}+\sqrt{9+\frac{4i}{n}}$.
Step4: Escribir la expresión del límite para el área
El área $A$ bajo la curva $y = f(x)$ en el intervalo $[a,b]$ usando puntos finales derechos está dada por $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}f(x_i)\Delta x$. Sustituyendo $f(x_i)$ y $\Delta x$ obtenemos $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}\left[\left(4+\frac{2i}{n}\right)^{2}+\sqrt{9+\frac{4i}{n}}\right]\frac{2}{n}$.
Answer:
$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}\left[\left(4+\frac{2i}{n}\right)^{2}+\sqrt{9+\frac{4i}{n}}\right]\frac{2}{n}$