use the midpoint rule with the given value of n to approximate the integral. (round your answer to four…

Explanation:

Step1: Calcular el ancho del sub - intervalo

El intervalo es $[a,b]=[0,24]$ y $n = 4$. El ancho del sub - intervalo $\Delta x=\frac{b - a}{n}=\frac{24-0}{4}=6$.

Step2: Definir los sub - intervalos y los puntos medios

Los sub - intervalos son $[0,6]$, $[6,12]$, $[12,18]$, $[18,24]$. Los puntos medios son $x_1 = 3$, $x_2=9$, $x_3 = 15$, $x_4=21$.

Step3: Aplicar la regla del punto medio

La regla del punto medio para $\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\Delta x\sum_{i = 1}^{n}f(x_i)$. Aquí, $f(x)=\sin(\sqrt{x})$, entonces: [ \begin{align*} \int_{0}^{24}\sin(\sqrt{x})dx&\approx\Delta x\left[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)\right]\ &=6\left[\sin(\sqrt{3})+\sin(\sqrt{9})+\sin(\sqrt{15})+\sin(\sqrt{21})\right]\ &=6\left[\sin(\sqrt{3})+\sin(3)+\sin(\sqrt{15})+\sin(\sqrt{21})\right]\ &\approx6[0.9870+0.1411 + 0.9918+0.8090]\ &=6\times2.9289\ &=17.5734 \end{align*} ]

Answer:

$17.5734$