use part one of the fundamental theorem of calculus to find the derivative of the function. y = ∫₄³ˣ⁺⁵ t /…

use part one of the fundamental theorem of calculus to find the derivative of the function. y = ∫₄³ˣ⁺⁵ t / (1 + t³) dt y =

use part one of the fundamental theorem of calculus to find the derivative of the function. y = ∫₄³ˣ⁺⁵ t / (1 + t³) dt y =

Answer

Answer:

$\frac{(3x + 5)}{1+(3x + 5)^{3}}\cdot3$

Explanation:

Step1: Aplicar el teorema fundamental del cálculo

Sea $F(t)$ una antiderivada de $f(t)=\frac{t}{1 + t^{3}}$, es decir, $F^\prime(t)=f(t)$. Entonces, por el primer teorema fundamental del cálculo, $y=\int_{4}^{3x + 5}\frac{t}{1 + t^{3}}dt=F(3x + 5)-F(4)$.

Step2: Derivar con la regla de la cadena

Derivando $y$ con respecto a $x$, usamos la regla de la cadena. La derivada de $F(3x + 5)$ con respecto a $x$ es $F^\prime(3x + 5)\cdot(3x + 5)^\prime$, y la derivada de $F(4)$ (una constante) es 0. Dado que $F^\prime(t)=\frac{t}{1 + t^{3}}$, entonces $F^\prime(3x + 5)=\frac{3x + 5}{1+(3x + 5)^{3}}$ y $(3x + 5)^\prime = 3$. Así, $y^\prime=\frac{(3x + 5)}{1+(3x + 5)^{3}}\cdot3$.