use part one of the fundamental theorem of calculus to find the derivative of the function. y = ∫√x^π/6 θ…

Answer:

$-\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$

Explanation:

Step1: Aplicar el teorema fundamental del cálculo

El primer teorema fundamental del cálculo establece que si $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$, entonces $F^\prime(x) = f(x)$. Aquí, tenemos $y=\int_{\sqrt{x}}^{\frac{\pi}{6}}\theta\tan(\theta)d\theta=-\int_{\frac{\pi}{6}}^{\sqrt{x}}\theta\tan(\theta)d\theta$.

Step2: Usar la regla de la cadena

Sea $u = \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, y $F(u)=\int_{\frac{\pi}{6}}^{u}\theta\tan(\theta)d\theta$. Entonces, por la regla de la cadena $\frac{dy}{dx}=\frac{dF}{du}\cdot\frac{du}{dx}$. Según el teorema fundamental del cálculo, $\frac{dF}{du}=u\tan(u)$. Y $\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Step3: Sustituir $u$ y calcular

Sustituyendo $u = \sqrt{x}$ en $\frac{dF}{du}\cdot\frac{du}{dx}$, obtenemos $y^\prime=-\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$.