use a power - reducing identity to rewrite the following expression below in terms containing only first…

Explanation:

Step1: Apply power - reducing identities for (\sin^{2}(x))

The power - reducing identity for (\sin^{2}(x)) is (\sin^{2}(x)=\frac{1 - \cos(2x)}{2}). So, (\sin^{4}(x)=(\sin^{2}(x))^{2}=(\frac{1 - \cos(2x)}{2})^{2}=\frac{1-2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)}{4}). Also, (\tan^{2}(x)=\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}=\frac{1 - \cos(2x)}{1+\cos(2x)}) (using (\sin^{2}(x)=\frac{1 - \cos(2x)}{2}) and (\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2})). Then (\sin^{4}(x)\tan^{2}(x)=\frac{(1 - \cos(2x))^{2}}{4}\cdot\frac{1 - \cos(2x)}{1+\cos(2x)}=\frac{(1 - \cos(2x))^{3}}{4(1+\cos(2x))}). Another way: First, (\sin^{4}(x)\tan^{2}(x)=\sin^{4}(x)\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}=\frac{\sin^{6}(x)}{\cos^{2}(x)}). Using (\sin^{2}(x)=\frac{1 - \cos(2x)}{2}), we have (\sin^{6}(x)=(\frac{1 - \cos(2x)}{2})^{3}=\frac{1-3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)}{8}). And (\cos^{2}(x)=\frac{1 + \cos(2x)}{2}). Now, use the power - reducing identity for (\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}). [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\sin^{4}(x)\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}\ &=\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^{2}\cdot\frac{\frac{1 - \cos(2x)}{2}}{\frac{1+\cos(2x)}{2}}\ &=\frac{(1 - \cos(2x))^{3}}{8}\cdot\frac{2}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1 - 3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)}{4(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] Since (\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}), we substitute: [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\frac{1-3\cos(2x)+3\cdot\frac{1 + \cos(4x)}{2}-\cos^{3}(2x)}{4(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] Another approach: We know that (\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}) and (\tan^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{1 + \cos(2x)}) [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^{2}\cdot\frac{1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{(1 - 2\cos(2x)+\cos^{2}(2x))(1-\cos(2x))}{4(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] Substitute (\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}) [ \begin{align*} &=\frac{(1 - 2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2})(1-\cos(2x))}{4(1+\cos(2x))}\ &=\frac{\left(\frac{2-4\cos(2x)+1+\cos(4x)}{2}\right)(1-\cos(2x))}{4(1+\cos(2x))}\ &=\frac{(3-4\cos(2x)+\cos(4x))(1-\cos(2x))}{8(1+\cos(2x))}\ &=\frac{3-3\cos(2x)-4\cos(2x)+4\cos^{2}(2x)+\cos(4x)-\cos(2x)\cos(4x)}{8(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] Using (\cos(A)\cos(B)=\frac{\cos(A + B)+\cos(A - B)}{2}) ((\cos(2x)\cos(4x)=\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2})) and (\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}) [ \begin{align*} &=\frac{3-7\cos(2x)+4\cdot\frac{1+\cos(4x)}{2}+\cos(4x)-\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2}}{8(1+\cos(2x))}\ &=\frac{3-7\cos(2x)+2 + 2\cos(4x)+\cos(4x)-\frac{\cos(6x)}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}}{8(1+\cos(2x))}\ &=\frac{5-\frac{15\cos(2x)}{2}+3\cos(4x)-\frac{\cos(6x)}{2}}{8(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] Alternatively, start from the beginning: [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\sin^{4}(x)\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}\ &=\frac{\sin^{6}(x)}{\cos^{2}(x)}\ \end{align*} ] Using (\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}) and (\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}) [ \begin{align*} &=\frac{(1-\cos(2x))^{3}}{8}\cdot\frac{2}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1 - 3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)}{4(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] Substitute (\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}) [ \begin{align*} &=\frac{1-3\cos(2x)+\frac{3(1+\cos(4x))}{2}-\cos^{3}(2x)}{4(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] Let's use another set of identities: [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\sin^{4}(x)\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}\ &=\frac{\sin^{6}(x)}{\cos^{2}(x)}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} \sin^{2}(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2},\quad\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}\ \sin^{6}(x)&=\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)^{3}=\frac{1 - 3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)}{8}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\frac{1 - 3\cos(2x)+3\cdot\frac{1+\cos(4x)}{2}-\cos^{3}(2x)}{4(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} &=\frac{2-6\cos(2x)+3 + 3\cos(4x)-2\cos^{3}(2x)}{8(1+\cos(2x))}\ &=\frac{5-6\cos(2x)+3\cos(4x)-2\cos^{3}(2x)}{8(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] Now, (\cos^{3}(2x)=\cos(2x)\cdot\cos^{2}(2x)=\cos(2x)\cdot\frac{1+\cos(4x)}{2}) [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\frac{1}{16}(1 - \cos(2x))^{3}\cdot\frac{2}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{16}\cdot\frac{1-3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)}{1+\cos(2x)}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} &=\frac{1}{16}\cdot\frac{1-3\cos(2x)+3\cdot\frac{1+\cos(4x)}{2}-\cos(2x)\cdot\frac{1+\cos(4x)}{2}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{16}\cdot\frac{2-6\cos(2x)+3 + 3\cos(4x)-\cos(2x)-\cos(2x)\cos(4x)}{2(1+\cos(2x))}\ &=\frac{1}{32}\cdot\frac{5-7\cos(2x)+3\cos(4x)-\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{64}\cdot\frac{10 - 14\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{64}\cdot\frac{10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)}{1+\cos(2x)}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\frac{1 - \cos(2x)}{8}(1 - 2\cos(2x)+\cos^{2}(2x))\cdot\frac{1}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1 - \cos(2x)}{8}\cdot\frac{(1 - \cos(2x))^{2}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{(1 - \cos(2x))^{3}}{8(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} &=\frac{1-3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)}{8(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} &=\frac{1-3\cos(2x)+\frac{3(1+\cos(4x))}{2}-\cos(2x)\cdot\frac{1+\cos(4x)}{2}}{8(1+\cos(2x))}\ &=\frac{2-6\cos(2x)+3 + 3\cos(4x)-\cos(2x)-\cos(2x)\cos(4x)}{16(1+\cos(2x))}\ &=\frac{5-7\cos(2x)+3\cos(4x)-\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2}}{16(1+\cos(2x))}\ &=\frac{10 - 14\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)-\cos(2x)}{32(1+\cos(2x))}\ &=\frac{10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)}{32(1+\cos(2x))}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\frac{1}{16}(1 - 2\cos(2x)+\cos^{2}(2x))(1-\cos(2x))\ &=\frac{1}{16}(1 - 3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x))\ \end{align*} ] [ \begin{align*} &=\frac{1}{16}\left(1-3\cos(2x)+\frac{3(1+\cos(4x))}{2}-\frac{\cos(2x)(1+\cos(4x))}{2}\right)\ &=\frac{1}{32}\left(2-6\cos(2x)+3 + 3\cos(4x)-\cos(2x)-\cos(2x)\cos(4x)\right)\ &=\frac{1}{32}\left(5-7\cos(2x)+3\cos(4x)-\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2}\right)\ &=\frac{1}{64}\left(10 - 14\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)-\cos(2x)\right)\ &=\frac{1}{64}(10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x))\ \end{align*} ] [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{8}(1 - \cos(2x))^{2}\cdot\frac{1}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{8}\cdot\frac{(1 - \cos(2x))^{3}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{8}\cdot\frac{1-3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{8}\cdot\frac{1-3\cos(2x)+\frac{3(1+\cos(4x))}{2}-\frac{\cos(2x)(1+\cos(4x))}{2}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{16}\cdot\frac{2-6\cos(2x)+3 + 3\cos(4x)-\cos(2x)-\cos(2x)\cos(4x)}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{16}\cdot\frac{5-7\cos(2x)+3\cos(4x)-\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{32}\cdot\frac{10 - 14\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{32}\cdot\frac{10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)}{1+\cos(2x)}\ \end{align*} ] [ \begin{align*} \sin^{4}(x)\tan^{2}(x)&=\frac{1}{16}(1-\cos(2x))^{3}\cdot\frac{2}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{8}\cdot\frac{(1 - \cos(2x))^{3}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{8}\cdot\frac{1-3\cos(2x)+3\cos^{2}(2x)-\cos^{3}(2x)}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{8}\cdot\frac{1-3\cos(2x)+\frac{3(1+\cos(4x))}{2}-\frac{\cos(2x)(1+\cos(4x))}{2}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{16}\cdot\frac{2-6\cos(2x)+3 + 3\cos(4x)-\cos(2x)-\cos(2x)\cos(4x)}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{16}\cdot\frac{5-7\cos(2x)+3\cos(4x)-\frac{\cos(6x)+\cos(2x)}{2}}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{32}\cdot\frac{10 - 14\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}\ &=\frac{1}{32}\cdot\frac{10-15\cos(2x)+6\cos(4x)-\cos(6x)}{1+\cos(2x)}\ \end{align*} ] [