use the shell method to write and evaluate the definite integral that represents the volume of the solid…

Explanation:

Step1: Aplicar la fórmula del método de la carcasa

La fórmula del método de la carcasa para el volumen $V$ al revolver una región en torno al eje $x$ es $V = 2\pi\int_{c}^{d}y\cdot h(y)dy$. Primero, despejamos $x$ de $y=\frac{1}{x}$, entonces $x = \frac{1}{y}$. La región está limitada por $y=\frac{1}{7}$ y $y = 1$. La altura $h(y)$ de la carcasa es $7-\frac{1}{y}$.

Step2: Escribir la integral definida

$V=2\pi\int_{\frac{1}{7}}^{1}y\left(7 - \frac{1}{y}\right)dy=2\pi\int_{\frac{1}{7}}^{1}(7y - 1)dy$.

Step3: Integrar

$\int(7y - 1)dy=\frac{7y^{2}}{2}-y + C$. Aplicando los límites de integración: [ \begin{align*} 2\pi\left[\frac{7y^{2}}{2}-y\right]_{\frac{1}{7}}^{1}&=2\pi\left[\left(\frac{7(1)^{2}}{2}-1\right)-\left(\frac{7(\frac{1}{7})^{2}}{2}-\frac{1}{7}\right)\right]\ &=2\pi\left[\left(\frac{7}{2}-1\right)-\left(\frac{7}{98}-\frac{1}{7}\right)\right]\ &=2\pi\left[\frac{5}{2}-\left(\frac{1}{14}-\frac{2}{14}\right)\right]\ &=2\pi\left[\frac{5}{2}+\frac{1}{14}\right]\ &=2\pi\left[\frac{35 + 1}{14}\right]\ &=2\pi\times\frac{36}{14}\ &=\frac{36\pi}{7} \end{align*} ]

Answer:

$\frac{36\pi}{7}$