what are the vertical and horizontal asymptotes for the function (f(x)=\frac{3x^{2}}{x^{2}-4})?\nhorizontal…

Explanation:

Step1: Encontrar las asíntotas verticales

Las asíntotas verticales se encuentran donde el denominador de la función racional es cero. Sea $f(x)=\frac{3x^{2}}{x^{2}-4}$. Igualamos el denominador a cero: $x^{2}-4 = 0$. Factorizando, $(x + 2)(x - 2)=0$. Resolviendo para $x$, obtenemos $x=-2$ y $x = 2$.

Step2: Encontrar las asíntotas horizontales

Para una función racional $f(x)=\frac{a_nx^n+\cdots+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_0}$ con $n$ y $m$ los grados de los polinomios del numerador y denominador respectivamente. Aquí $n = 2$ y $m=2$. El coeficiente principal del numerador $a_n = 3$ y el coeficiente principal del denominador $b_m=1$. Entonces, $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3x^{2}}{x^{2}-4}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3}{1-\frac{4}{x^{2}}}=3$.

Answer:

horizontal asymptote: $y = 3$ vertical asymptote: $x=-2,x = 2$