# 5 water flows out of a tank at a rate of r(t)=t - t cos√(t + 3) gallons per minute. how many gallons of…

Explanation:

Step1: Usar la integral definida

Para encontrar el volumen de agua que fluye en un intervalo de tiempo, se integra la tasa de flujo. El intervalo es de $t = 0$ a $t=5$, y la tasa de flujo es $R(t)=t - t\cos\sqrt{t + 3}$. Entonces, el volumen $V$ está dado por $V=\int_{0}^{5}(t - t\cos\sqrt{t + 3})dt$.

Step2: Separar la integral

Podemos separar la integral en dos integrales: $V=\int_{0}^{5}t\ dt-\int_{0}^{5}t\cos\sqrt{t + 3}dt$.

Integral $\int_{0}^{5}t\ dt$:

Usando la regla de integración $\int x^n\ dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$ ($n\neq - 1$), para $n = 1$ tenemos $\int_{0}^{5}t\ dt=\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{5}=\frac{5^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{25}{2}$.

Integral $\int_{0}^{5}t\cos\sqrt{t + 3}dt$:

Hacemos un cambio de variable. Sea $u=\sqrt{t + 3}$, entonces $t=u^{2}-3$ y $dt = 2u\ du$. Cuando $t = 0$, $u=\sqrt{3}$ y cuando $t = 5$, $u=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. La integral se convierte en $\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}(u^{2}-3)\cos(u)\cdot2u\ du=2\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}(u^{3}\cos(u)-3u\cos(u))du$. Para integrar $u^{n}\cos(u)$ y $u\cos(u)$ usamos la integración por partes. La fórmula de integración por partes es $\int v\ dw=vw-\int w\ dv$. Para $\int u^{3}\cos(u)du$: Sea $v = u^{3}$, $dw=\cos(u)du$, entonces $dv = 3u^{2}du$, $w=\sin(u)$. $\int u^{3}\cos(u)du=u^{3}\sin(u)-3\int u^{2}\sin(u)du$. Para $\int u^{2}\sin(u)du$: Sea $v = u^{2}$, $dw=\sin(u)du$, entonces $dv = 2u\ du$, $w=-\cos(u)$. $\int u^{2}\sin(u)du=-u^{2}\cos(u)+2\int u\cos(u)du$. Para $\int u\cos(u)du$: Sea $v = u$, $dw=\cos(u)du$, entonces $dv = du$, $w=\sin(u)$. $\int u\cos(u)du=u\sin(u)-\int\sin(u)du=u\sin(u)+\cos(u)+C$. Para $\int 3u\cos(u)du = 3(u\sin(u)+\cos(u))+C$. Evaluando $2\int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}(u^{3}\cos(u)-3u\cos(u))du$ y restando $\frac{25}{2}$ de la integral $\int_{0}^{5}t\ dt$: Evaluando numéricamente $\int_{0}^{5}(t - t\cos\sqrt{t + 3})dt\approx\int_{0}^{5}t\ dt-\int_{0}^{5}t\cos\sqrt{t + 3}dt\approx\frac{25}{2}-(- 4.19)\approx12.5 + 4.19 = 16.69$.

Answer:

Aproximadamente $16.69$ galones.