write and evaluate the definite integral that represents the volume of the solid formed by revolving the…

Explanation:

Step1: Encontrar los puntos de intersección

Igualamos $x^{4}=x^{7}$, entonces $x^{7}-x^{4}=0$, $x^{4}(x^{3} - 1)=0$. Los puntos de intersección son $x = 0$ y $x = 1$.

Step2: Aplicar la fórmula del volumen por el método de los discos - anillos

El volumen $V$ de un sólido de revolución alrededor del eje $x$ para una región acotada por $y = f(x)$ y $y = g(x)$ con $f(x)\geq g(x)$ en el intervalo $[a,b]$ está dado por $V=\pi\int_{a}^{b}([f(x)]^{2}-[g(x)]^{2})dx$. Aquí, $f(x)=x^{4}$ y $g(x)=x^{7}$, $a = 0$ y $b = 1$. Entonces $V=\pi\int_{0}^{1}((x^{4})^{2}-(x^{7})^{2})dx=\pi\int_{0}^{1}(x^{8}-x^{14})dx$.

Step3: Integrar

Usamos la regla de integración $\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C$ ($n\neq - 1$). Entonces $\int_{0}^{1}(x^{8}-x^{14})dx=\left[\frac{x^{9}}{9}-\frac{x^{15}}{15}\right]_{0}^{1}$.

Step4: Evaluar la integral definida

Sustituimos los límites de integración: $\left(\frac{1^{9}}{9}-\frac{1^{15}}{15}\right)-\left(\frac{0^{9}}{9}-\frac{0^{15}}{15}\right)=\frac{1}{9}-\frac{1}{15}$. Simplificando, $\frac{1}{9}-\frac{1}{15}=\frac{5 - 3}{45}=\frac{2}{45}$.

Answer:

$\frac{2\pi}{45}$