79. loose change matthew has 74 coins consisting of nickels, dimes, and quarters in his coin box. the total…

79. loose change matthew has 74 coins consisting of nickels, dimes, and quarters in his coin box. the total value of the coins is $8.85. if the number of nickels and quarters is four more than the number of dimes, find how many of each coin matthew has in his coin box.

79. loose change matthew has 74 coins consisting of nickels, dimes, and quarters in his coin box. the total value of the coins is $8.85. if the number of nickels and quarters is four more than the number of dimes, find how many of each coin matthew has in his coin box.

Answer

Explanation:

Step1: Definir variables

Sea ( n ) el número de monedas de 5 centavos (nickels), ( d ) el número de monedas de 10 centavos (dimes) y ( q ) el número de monedas de 25 centavos (quarters). Sabemos que ( n + d+q = 74 ) y ( 0.05n + 0.1d + 0.25q=8.85 ). Además, ( n + q=4 ) (número de monedas de 5 y 25 centavos).

Step2: Sustituir ( n + q = 4 ) en ( n + d+q = 74 )

Sustituyendo ( n + q = 4 ) en ( n + d+q = 74 ), obtenemos ( 4 + d=74 ), entonces ( d = 74 - 4=70 ).

Step3: Sustituir ( d = 70 ) en la ecuación de valor

Sustituyendo ( d = 70 ) en ( 0.05n + 0.1d + 0.25q=8.85 ), tenemos ( 0.05n + 0.1\times70+0.25q=8.85 ). Simplificando: ( 0.05n + 7+0.25q=8.85 ), luego ( 0.05n + 0.25q=8.85 - 7 = 1.85 ). Multiplicando por 100: ( 5n + 25q=185 ), dividiendo por 5: ( n + 5q=37 ).

Step4: Resolver el sistema ( n + q = 4 ) y ( n + 5q=37 )

Restando la primera ecuación ( n + q = 4 ) de la segunda ( n + 5q=37 ): ((n + 5q)-(n + q)=37 - 4 ). Esto da ( 4q=33 ), lo cual no tiene solución entera. Hubo un error, volviendo.

Step5: Corregir el error

El error fue en la interpretación. Debería ser ( n + q ) es el doble del número de dimes? No, volviendo a los datos originales.

Datos correctos: ( n + d+q = 74 ), ( 0.05n + 0.1d + 0.25q=8.85 ), y ( n + q=2d ) (número de monedas de 5 y 25 centavos es el doble del número de dimes).

Sustituyendo ( n + q = 2d ) en ( n + d+q = 74 ): ( 2d + d=74 ), ( 3d=74 ), no. Otra interpretación: "el número de monedas de 5 y 25 centavos es cuatro veces el número de dimes". No, leyendo de nuevo: "el número de nickels y quarters is four more than the number of dimes". Entonces ( n + q=d + 4 ).

Step6: Sustituir ( n + q=d + 4 ) en ( n + d+q = 74 )

Sustituyendo ( n + q=d + 4 ) en ( n + d+q = 74 ): ( d + 4 + d=74 ), ( 2d=70 ), ( d = 35 ).

Step7: Sustituir ( d = 35 ) en la ecuación de valor

Sustituyendo ( d = 35 ) en ( 0.05n + 0.1d + 0.25q=8.85 ): ( 0.05n + 0.1\times35+0.25q=8.85 ). ( 0.05n + 3.5+0.25q=8.85 ), ( 0.05n + 0.25q=5.35 ). Multiplicando por 100: ( 5n + 25q=535 ), dividiendo por 5: ( n + 5q=107 ).

Como ( n + q=d + 4=35 + 4 = 39 ), entonces ( n=39 - q ).

Step8: Sustituir ( n = 39 - q ) en ( n + 5q=107 )

Sustituyendo ( n = 39 - q ) en ( n + 5q=107 ): ( 39 - q+5q=107 ), ( 4q=107 - 39=68 ), ( q = 17 ).

Step9: Calcular ( n )

Como ( n + q=39 ) y ( q = 17 ), entonces ( n=39 - 17 = 22 ).

Answer:

Hay ( 22 ) nickels, ( 35 ) dimes y ( 17 ) quarters.