examples 2 and 7\n27. number theory the product of the two consecutive positive integers is 11 more than…

27.

Answer:

3 and 4

Explanation:

Step1: Definir variables

Sea el primer entero positivo $x$, entonces el siguiente entero positivo consecutivo es $x + 1$.

Step2: Escribir la ecuación

El producto de los dos enteros es $x(x + 1)$ y su suma es $x+(x + 1)$. Según el problema, $x(x + 1)=x+(x + 1)+11$.

Step3: Expandir y simplificar

Expandimos $x(x + 1)$ a $x^{2}+x$. La ecuación se convierte en $x^{2}+x=2x + 1+11$, es decir $x^{2}+x=2x + 12$. Luego, movemos todos los términos al lado izquierdo: $x^{2}+x-2x - 12=0$, lo que da $x^{2}-x - 12=0$.

Step4: Factorizar la ecuación

Factorizamos $x^{2}-x - 12$ como $(x - 4)(x+3)=0$.

Step5: Resolver para $x$

Si $(x - 4)(x + 3)=0$, entonces $x-4=0$ o $x + 3=0$. Obtenemos $x = 4$ o $x=-3$. Pero como buscamos enteros positivos, $x = 4$. Y el siguiente entero consecutivo es $x + 1=5$. Los números son 3 y 4.

28.

Answer:

8 pies

Explanation:

Step1: Definir variables

Sea la distancia desde la pared al pie de la escalera $x$ pies. Entonces la longitud de la escalera es $2x + 1$ pies.

Step2: Aplicar el teorema de Pitágoras

Según el teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo (formado por la pared, el suelo y la escalera), $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, donde $a = 15$ (altura en la pared), $b=x$ (distancia al pie de la escalera) y $c=2x + 1$ (longitud de la escalera). Entonces $15^{2}+x^{2}=(2x + 1)^{2}$.

Step3: Expandir

$225+x^{2}=4x^{2}+4x + 1$.

Step4: Rearranging the equation

Movemos todos los términos al lado derecho: $0=4x^{2}+4x + 1-x^{2}-225$, lo que da $3x^{2}+4x-224 = 0$.

Step5: Factorizar o usar la fórmula cuadrática

Factorizamos $3x^{2}+4x-224=(3x + 28)(x - 8)=0$.

Step6: Resolver para $x$

Si $(3x + 28)(x - 8)=0$, entonces $3x+28=0$ o $x - 8=0$. $3x+28=0$ da $x=-\frac{28}{3}$, que no es válido como es una distancia. $x - 8=0$ da $x = 8$. Entonces la distancia desde la pared al pie de la escalera es 8 pies.