find the equation of the exponential function represented by the table below:

Explanation:

Step1: Escribir la ecuación general de una función exponencial

La ecuación general de una función exponencial es ( y = a\cdot b^{x} ), donde ( a ) es el valor inicial (cuando ( x = 0 )) y ( b ) es la base.

Step2: Determinar el valor de ( a )

Cuando ( x = 0 ), ( y = 5 ). Sustituyendo ( x = 0 ) y ( y = 5 ) en la ecuación ( y=a\cdot b^{x} ), obtenemos ( 5=a\cdot b^{0} ). Como ( b^{0}=1 ) para ( b\neq0 ), entonces ( a = 5 ).

Step3: Determinar el valor de ( b )

Ahora la ecuación es ( y = 5\cdot b^{x} ). Usando el par ( (x = 1,y = 2.5) ), sustituimos: ( 2.5=5\cdot b^{1} ). Resolviendo para ( b ), ( b=\frac{2.5}{5}=0.5=\frac{1}{2} ).

Step4: Verificar con otros valores

Para ( x = 2 ), ( y = 5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=5\cdot\frac{1}{4}=1.25 ). Para ( x = 3 ), ( y = 5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=5\cdot\frac{1}{8}=0.625 ).

Answer:

( y = 5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{x} )