1. (a) recopier et compléter les phrases suivantes (1 à 10). (40 pts : 4 pts par question) \n(1) le domaine…

1. (a) recopier et compléter les phrases suivantes (1 à 10). (40 pts : 4 pts par question) \n(1) le domaine de définition de la fonction numérique ( f ) de variable réelle ( x ) définie par ( f(x)=sqrt{1 - x^{2}} ) est ( d_f=cdots )\n(2) si ( f ) est la fonction numérique ( f ) de variable réelle ( x ) définie sur ( 0,+infty ) par ( f(x)=x - 1+\frac{ln x}{x^{2}} ), alors ( lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=cdots ) et ( lim_{x\rightarrow+infty}f(x)=cdots )\n(3) ( (u_n) ) est une suite géométrique telle que ( u_3 = 27 ) et ( u_4=-8 ), alors le premier terme de cette suite est ( u_0=cdots )\n(4) soit ( (u_n) ) une suite réelle définie sur ( mathbb{n} ) par ( u_n=\frac{1}{2 - u_{n + 1}} ) avec ( u_{n+1}\neq2 ) pour tout naturel ( n ). si ( u_0 = 2 ), alors on a ( u_1=cdots )\n(5) dans le plan affine, on considère les points non - alignés ( a ), ( b ) et ( c ). le point ( g ) vérifiant la relation ( overrightarrow{gb}=\frac{2}{3}overrightarrow{ac} ), est le barycentre de ( (a,cdots),(b,cdots),(c,cdots) )\n(6) si lécriture matricielle du nombre complexe ( z ) est ( \begin{pmatrix}2&3\\ - 3&2end{pmatrix} ), alors la forme algébrique de ( z ) est ( z=cdots )\n(7) si ( a ) et ( b ) sont deux événements indépendants dun espace probabilisé fini ( (omega,p(omega),p) ) tels que ( p(b)=0.6 ) et ( p(bcap a)=0.3 ), alors ( p(a)=cdots )\n(8) si ( a ) est un événement de lespace probabilisé fini ( (omega,p(omega),p) ) et ( b ) est lévénement contraire de ( a ), si ( p(a)=\frac{4}{7} ), alors ( p(b)=cdots )\n(9) si la série statistique de la répartition des employés dune entreprise est donnée suivant leur âge par le tableau suivant :\n| âge (ans) | 10,20 | 20,30 | 30,40 | 40,50 | 50,60 |\n| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |\n| effectif | 3 | 12 | 8 | 13 | 4 |\nalors la moyenne de cette série est ( overline{x}=25.45 )\n(10) on considère une série statistique à deux variables ( x ) et ( y ) et la droite de régression de ( y ) en ( x ) déquation ( y=a + bx ). la pente ( b ) de la droite est donnée par la formule ( b=cdots )\nartie b. traiter trois (3) des cinq(5) exercices. (60 pts)\n1. on considère une fonction numérique de variable réelle ( x ) définie par ( f(x)=\frac{e^{x}-3}{e^{x}+1} ) et on note ( (c_f) ) la courbe de ( f ) dans un plan de repère orthonormé ( (o,vec{i},vec{j}) ).\n(a) déterminer le domaine de définition de ( f ) noté ( d_f )\n(b) montrer que la courbe ( (c_f) ) de ( f ) admet deux asymptotes que lon précisera.\n(c) montrer que, ( \forall xin d_f ), ( f(x)=\frac{1 - 3e^{-x}}{1 + e^{-x}} )\n(d) étudier les variations de ( f ) puis tracer ( (c_f) ).\n2. soit la suite ( (u_n) ) définie sur ( mathbb{n} ) par ( \begin{cases}u_0=-2\\u_{n + 1}=\frac{2}{3}u_n-1end{cases} ). on définit une suite ( (w_n) ) sur ( mathbb{n} ) par ( w_n=u_n + 3 ).\n(a) démontrer que ( (w_n) ) nest pas une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\n(b) exprimer ( w_n ) puis ( u_n ) en fonction de ( n ).\n(c) calculer en fonction de ( n ) la somme ( s_n=sum_{i = 0}^{n}w_i ).\n3. soit les nombres complexes ( z_1=-3 + isqrt{3} ) et ( z_2=sqrt{2}+isqrt{6} ). on pose ( z = z_1\times z_2 ).\n(a) écrire ( z_1 ) sous forme exponentielle et ( z_2 ) sous forme trigonométrique.\n(b) en déduire la forme exponentielle de ( z ).\n4. dans un lot de 10 cartes : 5 dames, 3 rois et 2 valets. on extrait au hasard et simultanément deux cartes. sachant quau tirage : un roi rapporte 5 points, une dame 2 points et un valet fait perdre 1 point. on désigne par ( x ) la variable aléatoire discrète correspondant à la somme des points obtenus sur les deux cartes.\n(a) quelles sont les valeurs de ( x )?\n(b) déterminer la loi de probabilité de ( x ).\n(c) calculer lespérance mathématique et la variance de ( x ).\n5. soit la série statistique suivante:\n| ( x ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |\n| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |\n| ( y ) | 12 | 10 | 6 | 6 | 2 |\n(a) représenter le nuage de points de cette série dans un plan rapporté à un repère orthonormé.\n(b) déterminer les coordonnées du point moyen de ce nuage, puis placer ce point sur le repère.\n(c) calculer le coefficient de corrélation ( r ), puis interpréter le résultat.

1. (a) recopier et compléter les phrases suivantes (1 à 10). (40 pts : 4 pts par question) \n(1) le domaine de définition de la fonction numérique ( f ) de variable réelle ( x ) définie par ( f(x)=sqrt{1 - x^{2}} ) est ( d_f=cdots )\n(2) si ( f ) est la fonction numérique ( f ) de variable réelle ( x ) définie sur ( 0,+infty ) par ( f(x)=x - 1+\frac{ln x}{x^{2}} ), alors ( lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=cdots ) et ( lim_{x\rightarrow+infty}f(x)=cdots )\n(3) ( (u_n) ) est une suite géométrique telle que ( u_3 = 27 ) et ( u_4=-8 ), alors le premier terme de cette suite est ( u_0=cdots )\n(4) soit ( (u_n) ) une suite réelle définie sur ( mathbb{n} ) par ( u_n=\frac{1}{2 - u_{n + 1}} ) avec ( u_{n+1}\neq2 ) pour tout naturel ( n ). si ( u_0 = 2 ), alors on a ( u_1=cdots )\n(5) dans le plan affine, on considère les points non - alignés ( a ), ( b ) et ( c ). le point ( g ) vérifiant la relation ( overrightarrow{gb}=\frac{2}{3}overrightarrow{ac} ), est le barycentre de ( (a,cdots),(b,cdots),(c,cdots) )\n(6) si lécriture matricielle du nombre complexe ( z ) est ( \begin{pmatrix}2&3\\ - 3&2end{pmatrix} ), alors la forme algébrique de ( z ) est ( z=cdots )\n(7) si ( a ) et ( b ) sont deux événements indépendants dun espace probabilisé fini ( (omega,p(omega),p) ) tels que ( p(b)=0.6 ) et ( p(bcap a)=0.3 ), alors ( p(a)=cdots )\n(8) si ( a ) est un événement de lespace probabilisé fini ( (omega,p(omega),p) ) et ( b ) est lévénement contraire de ( a ), si ( p(a)=\frac{4}{7} ), alors ( p(b)=cdots )\n(9) si la série statistique de la répartition des employés dune entreprise est donnée suivant leur âge par le tableau suivant :\n| âge (ans) | 10,20 | 20,30 | 30,40 | 40,50 | 50,60 |\n| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |\n| effectif | 3 | 12 | 8 | 13 | 4 |\nalors la moyenne de cette série est ( overline{x}=25.45 )\n(10) on considère une série statistique à deux variables ( x ) et ( y ) et la droite de régression de ( y ) en ( x ) déquation ( y=a + bx ). la pente ( b ) de la droite est donnée par la formule ( b=cdots )\nartie b. traiter trois (3) des cinq(5) exercices. (60 pts)\n1. on considère une fonction numérique de variable réelle ( x ) définie par ( f(x)=\frac{e^{x}-3}{e^{x}+1} ) et on note ( (c_f) ) la courbe de ( f ) dans un plan de repère orthonormé ( (o,vec{i},vec{j}) ).\n(a) déterminer le domaine de définition de ( f ) noté ( d_f )\n(b) montrer que la courbe ( (c_f) ) de ( f ) admet deux asymptotes que lon précisera.\n(c) montrer que, ( \forall xin d_f ), ( f(x)=\frac{1 - 3e^{-x}}{1 + e^{-x}} )\n(d) étudier les variations de ( f ) puis tracer ( (c_f) ).\n2. soit la suite ( (u_n) ) définie sur ( mathbb{n} ) par ( \begin{cases}u_0=-2\\u_{n + 1}=\frac{2}{3}u_n-1end{cases} ). on définit une suite ( (w_n) ) sur ( mathbb{n} ) par ( w_n=u_n + 3 ).\n(a) démontrer que ( (w_n) ) nest pas une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.\n(b) exprimer ( w_n ) puis ( u_n ) en fonction de ( n ).\n(c) calculer en fonction de ( n ) la somme ( s_n=sum_{i = 0}^{n}w_i ).\n3. soit les nombres complexes ( z_1=-3 + isqrt{3} ) et ( z_2=sqrt{2}+isqrt{6} ). on pose ( z = z_1\times z_2 ).\n(a) écrire ( z_1 ) sous forme exponentielle et ( z_2 ) sous forme trigonométrique.\n(b) en déduire la forme exponentielle de ( z ).\n4. dans un lot de 10 cartes : 5 dames, 3 rois et 2 valets. on extrait au hasard et simultanément deux cartes. sachant quau tirage : un roi rapporte 5 points, une dame 2 points et un valet fait perdre 1 point. on désigne par ( x ) la variable aléatoire discrète correspondant à la somme des points obtenus sur les deux cartes.\n(a) quelles sont les valeurs de ( x )?\n(b) déterminer la loi de probabilité de ( x ).\n(c) calculer lespérance mathématique et la variance de ( x ).\n5. soit la série statistique suivante:\n| ( x ) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |\n| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |\n| ( y ) | 12 | 10 | 6 | 6 | 2 |\n(a) représenter le nuage de points de cette série dans un plan rapporté à un repère orthonormé.\n(b) déterminer les coordonnées du point moyen de ce nuage, puis placer ce point sur le repère.\n(c) calculer le coefficient de corrélation ( r ), puis interpréter le résultat.

Answer

Explanation:

Step1: Trouver le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{1 - x^{2}}$

Pour que la fonction soit bien - définie, il faut que $1 - x^{2}\geq0$. On résout l'inéquation $1 - x^{2}\geq0$, c'est - à - dire $(1 - x)(1 + x)\geq0$. Les racines de l'équation $(1 - x)(1 + x)=0$ sont $x = 1$ et $x=-1$. En utilisant le tableau de signe, on obtient $D_f=[-1;1]$.

Step2: Étudier la fonction $f(x)=x - 1+\frac{\ln x}{x^{2}}$

Pour $x\rightarrow0^{+}$, $\ln x\rightarrow-\infty$ et $\frac{\ln x}{x^{2}}\rightarrow-\infty$, donc $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)=-\infty$. Pour $x\rightarrow+\infty$, $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{x^{2}} = 0$ (en utilisant la règle de L'Hopital deux fois : si $y=\frac{\ln x}{x^{2}}$, $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{2x^{2}} = 0$), et $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$.

Step3: Étudier la suite géométrique

Si $(U_n)$ est une suite géométrique, on a $U_n = U_0r^n$. On sait que $U_1 = U_0r$ et $U_2 = U_0r^2$. Donc $\frac{U_2}{U_1}=r$. Si $U_1 = 27$ et $U_2=-8$, alors $r=-\frac{8}{27}$. Et $U_0=\frac{U_1}{r}=-\frac{729}{8}$.

Step4: Traiter la suite $(U_n)$ définie par $U_n=\frac{1}{2 - U_{n + 1}}$

Si $U_0 = 2$, on remplace dans l'équation $U_0=\frac{1}{2 - U_{1}}$, on obtient $2=\frac{1}{2 - U_{1}}$, puis $4-2U_{1}=1$, et $U_{1}=\frac{3}{2}$.

Step5: Traiter le problème de vecteurs

Soit $\overrightarrow{GB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Soit $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$ et $G(x_G,y_G)$. On a $\overrightarrow{GB}=(x_B - x_G,y_B - y_G)$ et $\overrightarrow{AC}=(x_C - x_A,y_C - y_A)$. On peut utiliser les formules de barycentre pour trouver les coordonnées de $G$ en fonction des coordonnées de $A$, $B$ et $C$.

Step6: Traiter le nombre complexe

Si la matrice d'un nombre complexe $z$ est $\begin{pmatrix}2&3\ - 3&2\end{pmatrix}$, on sait que $z=a + bi$ et la matrice associée est $\begin{pmatrix}a&-b\b&a\end{pmatrix}$. Donc $a = 2$ et $b = 3$, et $z = 2+3i$.

Step7: Traiter les événements indépendants

Si $A$ et $B$ sont indépendants, $P(B\cap A)=P(A)P(B)$. On sait que $P(B) = 0.6$ et $P(B\cap A)=0.3$, alors $P(A)=\frac{P(B\cap A)}{P(B)}=\frac{0.3}{0.6}=0.5$.

Step8: Traiter l'événement contraire

Si $P(A)=\frac{4}{7}$, et $B$ est l'événement contraire de $A$, alors $P(B)=1 - P(A)=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}$.

Step9: Calculer la moyenne statistique

La moyenne $\overline{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}n_ix_i}{\sum_{i = 1}^{k}n_i}$, où $n_i$ est la fréquence et $x_i$ est la valeur moyenne de l'intervalle. On calcule avec les données du tableau.

Step10: Traiter la régression linéaire

La pente $b$ de la droite de régression $y=a + bx$ est donnée par une formule basée sur les sommes des produits et des sommes des carrés des variables $x$ et $y$.

Answer:

Voir les explications étape - par - étape pour chaque sous - problème.