is $sqrt{7}$ a rational number? yes no

Explicación:

Paso 1: Definición de número racional

Un número racional se puede escribir como $\frac{p}{q}$, donde $p$ y $q$ son enteros y $q\neq0$.

Paso 2: Analizar $\sqrt{7}$

Supongamos que $\sqrt{7}=\frac{p}{q}$ en forma irreducible ($p$ y $q$ son enteros, $q > 0$ y $\gcd(p,q)=1$). Entonces $7=\frac{p^{2}}{q^{2}}$, o $p^{2}=7q^{2}$. Esto implica que $p^{2}$ es múltiplo de 7, y por lo tanto $p$ es múltiplo de 7 (por el teorema fundamental de la aritmética). Si $p = 7k$ para algún entero $k$, entonces $(7k)^{2}=7q^{2}$, es decir $49k^{2}=7q^{2}$, o $7k^{2}=q^{2}$. Esto implica que $q$ también es múltiplo de 7, lo cual contradice la hipótesis de que $\gcd(p,q)=1$. Así, $\sqrt{7}$ no es un número racional.

Respuesta:

no