for what value of n does $\frac{216^{n - 2}}{(\frac{1}{36})^{3n}}=216$?\n-3\n$-\frac{1}{3}$\n$\frac{5}{9}$\n1

Explanation:

Step1: Reescribir los números en forma exponencial

Sabemos que $216 = 6^3$ y $36=6^2$. Entonces $\frac{216^{n - 2}}{(\frac{1}{36})^{3n}}=\frac{(6^3)^{n - 2}}{(6^{- 2})^{3n}}$.

Step2: Aplicar la regla de potencia de una potencia

$(a^m)^n=a^{mn}$. Así, $\frac{(6^3)^{n - 2}}{(6^{- 2})^{3n}}=\frac{6^{3(n - 2)}}{6^{-6n}}$.

Step3: Aplicar la regla de división de potencias con la misma base

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}$. Entonces $\frac{6^{3(n - 2)}}{6^{-6n}}=6^{3(n - 2)-(-6n)}$.

Step4: Simplificar la expresión exponencial

$6^{3(n - 2)-(-6n)}=6^{3n-6 + 6n}=6^{9n-6}$.

Step5: Igualar la expresión a 216 (o $6^3$)

Como $\frac{216^{n - 2}}{(\frac{1}{36})^{3n}} = 216=6^3$, entonces $6^{9n-6}=6^3$.

Step6: Igualar los exponentes

Si $a^m=a^n$, entonces $m = n$. Así, $9n-6 = 3$.

Step7: Resolver la ecuación para n

$9n=3 + 6$, $9n=9$, $n = 1$.

Answer:

D. 1